Échantillonnage aléatoire et systématique

L’échantillonnage systématique ressemble à un raccourci, mais l’arithmétique des probabilités qui le sous-tend est exacte, et la voir enlève toute approximation. Écrivez la base de sondage comme une liste numérotée de 1 à N, et posez k = N ÷ n. Si k est un nombre entier, la base se partage en exactement k colonnes lorsqu’on l’écrit en lignes de k : la première colonne contient les personnes 1, k + 1, 2k + 1 et ainsi de suite, la dernière les personnes k, 2k, 3k et ainsi de suite. Chaque départ aléatoire possible, un entier de 1 à k, sélectionne exactement une colonne. Chaque personne se trouve donc dans une seule colonne : un seul départ parmi les k possibles peut la retenir, et sa probabilité de sélection est 1/k, ce qui équivaut à n ÷ N puisque k = N ÷ n. Cette équivalence justifie toute la méthode. Deux conséquences pratiques en découlent. D’abord, si N ÷ n n’est pas un entier — par exemple N = 1 000 et n = 300, soit k ≈ 3,33 — le pas ne peut pas être un nombre de personnes. Les solutions habituelles sont d’arrondir k à un entier, de suivre un pas fractionnaire sur un cumul, ou de modifier la taille de l’échantillon ; arrondir change silencieusement la probabilité, et le choix doit donc figurer dans le rapport. Ensuite, le danger de périodicité découle de la même arithmétique. Si la base répète un cycle de longueur c et que k est un multiple de c, la colonne retenue retombe toujours au même point du cycle et l’échantillon ne contient qu’un seul type de fiche. Il est alors biaisé, et pas seulement malchanceux. Trier la base au hasard, ou remplacer l’échantillonnage systématique par un échantillonnage aléatoire simple, brise cet alignement. La méthode ne vaut que ce que vaut l’ordre de la liste qu’on lui donne.

Les quatre méthodes ne sont pas des outils interchangeables pour une même tâche : chacune apporte quelque chose et le paie ailleurs. L’échantillonnage aléatoire simple est la référence : avec une base de sondage, il donne à chaque individu la même probabilité de sélection et à chaque combinaison de n individus une chance de se produire, et sa précision se décrit aisément. L’échantillonnage stratifié achète de la précision. Lorsque les strates diffèrent sur la quantité mesurée, supprimer les écarts entre strates supprime une partie de la variation totale : l’estimation dans chaque strate est donc plus précise qu’une estimation de même taille prélevée dans la population mélangée. Le gain est maximal quand les strates sont homogènes en leur sein et très différentes les unes des autres. Répartir l’échantillon proportionnellement à la taille des strates — l’allocation proportionnelle — garde l’échantillon global représentatif ; sur-échantillonner volontairement une petite strate est aussi légitime lorsque ce sous-groupe a besoin de sa propre estimation précise, à condition de repondérer l’analyse et de le dire dans le rapport. L’échantillonnage par grappes achète l’économie. On le choisit quand les individus ne peuvent pas être listés mais que les groupes naturels le peuvent, et quand la population est dispersée sur un vaste territoire, car le coût du terrain dépend du nombre de lieux visités et pas seulement du nombre de personnes interrogées. Le prix est statistique : les personnes d’une même grappe se ressemblent, si bien qu’un échantillon par grappes porte moins d’information par personne qu’un échantillon aléatoire simple de même taille. Cette inflation de l’incertitude s’appelle l’effet de plan, et la règle pratique est nette : s’il faut procéder par grappes, mieux vaut plus de grappes et moins de personnes par grappe, car l’information vient surtout du nombre de groupes indépendants, non du nombre d’entretiens à l’intérieur de chacun. Une enquête de santé qui étudie 20 villages de 50 enfants vaut généralement mieux qu’une enquête portant sur 4 villages de 250 enfants.

La sélection aléatoire paraît simple jusqu’au moment de la réaliser pour de vrai, et c’est dans ces gestes que les débutants introduisent une préférence invisible. Une table de nombres aléatoires s’utilise ainsi : numérotez la base de 1 à N, décidez à l’avance combien de chiffres vous lirez ensemble — pour une base de 600, trois chiffres couvrent 001 à 600 —, choisissez au hasard une ligne et une colonne de départ, puis lisez dans une seule direction fixe. Notez chaque nombre qui tombe dans l’intervalle, écartez les nombres hors intervalle et ceux déjà retenus, et continuez jusqu’au nombre requis. Fixer la direction et le nombre de chiffres avant de lire empêche la tricherie silencieuse la plus courante : continuer parce que le nombre suivant « semble » meilleur. Les nombres produits par ordinateur suivent la même logique mais proviennent d’une formule : ils sont pseudo-aléatoires, c’est-à-dire que la suite paraît sans motif tout en étant reproductible à partir d’une valeur initiale appelée graine. Cette reproductibilité est une qualité en recherche : une graine notée dans la méthode permet à un autre analyste de reconstruire exactement le même échantillon. Elle ne devient un défaut que si le générateur est mauvais ou si la graine est choisie pour donner un résultat commode. Le tirage sans remise — ne jamais remettre un numéro déjà tiré dans l’urne — est ce qui garantit des individus distincts et ce qui donne à chacun la même probabilité n ÷ N ; un tirage avec remise permettrait au même patient d’apparaître deux fois et changerait l’arithmétique. Enfin, un rapport honnête indique la base, la méthode, les outils, le pas ou l’allocation, et les nombres réellement tirés, afin que le lecteur voie que le hasard, et non la préférence, a produit l’échantillon. Dans un audit clinique, ce n’est pas du pédantisme : un superviseur capable de reconstruire votre échantillon peut vérifier que les dossiers examinés n’étaient pas simplement les plus commodes.