Population, échantillon, paramètre et statistique

La convention « grec pour la population, latin pour l’échantillon » n’est pas une habitude décorative : c’est une compression qui permet de voir la structure d’une étude dans un seul symbole. Ces quatre paires ont été posées dans l’idée ci-dessus ; ici, l’essentiel est ce que la convention apporte. Le chapeau ajoute une couche de sens : il marque une valeur obtenue par estimation à partir de données, et non mesurée sur le groupe entier ; on écrit donc x̂, p̂ et même ŝ lorsqu’une quantité a été déduite plutôt qu’observée. Deux symboles voisins portent presque toute la logique d’un rapport : quand un auteur écrit x̄ ± 1,96 s/√n, les lettres latines annoncent que tout, dans l’expression, a été calculé sur l’échantillon, la racine de n montre comment la taille d’échantillon intervient, et le résultat est un intervalle autour d’une valeur d’échantillon. Lire cette formule comme « une moyenne d’échantillon, élargie d’une quantité qui dépend de la taille de l’échantillon », plutôt que comme une formule magique, est le début de la culture statistique. La pratique soignante rencontre cette convention en permanence. Un article présenté en club de lecture donne la proportion d’infections liées au cathéter et la note p̂. Un tableau de bord qualité cite le taux de césariennes de l’hôpital comme un paramètre, car les données de l’établissement sont complètes pour cet indicateur. Une infirmière en prévention des infections qui comprend que P est inconnaissable alors que p̂ est mesurable rédigera son rapport honnêtement, et une commission d’audit ne confondra pas un résultat d’échantillon avec une vérité valable pour tout l’établissement. Un point de confusion fréquent mérite d’être nommé : la lettre p seule, sans chapeau ni équivalent grec, désigne en test d’hypothèse la valeur p, une quantité entièrement différente d’une proportion. C’est le contexte qui tranche, et le chapeau est le signal fiable qu’il s’agit bien d’une proportion. Enfin, la taille a sa propre convention : N majuscule pour une population et n minuscule pour un échantillon. Ainsi σ² = Σ(x − μ)² / N utilise N, car le dénominateur compte toute la population, tandis que s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1) utilise n et une correction qui n’existe que parce qu’un échantillon a servi. Deux alphabets, un chapeau, une majuscule : ils codent ensemble qui a été mesuré et qui a seulement été évoqué.

Les trois raisons d’échantillonner — coût, temps et nécessité — deviennent convaincantes dès qu’on y met des chiffres. Supposons qu’une région veuille la vraie pression artérielle systolique moyenne de ses deux millions d’adultes. Une mesure standardisée, avec consentement, repos et enregistrement, demande environ quinze minutes de personnel formé, et chaque participant coûte à peu près 8 unités monétaires en consommables, déplacements et saisie. Deux millions de mesures exigent donc environ 500 000 heures de travail, soit près de 240 années-personnes à temps plein, et 2 000 000 × 8, environ 16 millions de coût direct. À ce rythme, l’enquête durerait dix ans, pendant lesquels la population vieillirait et migrerait : le paramètre recherché aurait donc changé avant d’être enfin mesuré. Comparons maintenant l’alternative par échantillon. Un échantillon de 1 000 adultes bien tiré, mesuré en deux mois par quatre infirmiers, donne une estimation de la moyenne de population avec une marge d’erreur d’environ 1 mmHg, en prenant un écart-type d’environ 15 mmHg comme ailleurs dans le cours, car la précision d’une estimation dépend surtout de la taille de l’échantillon et très peu de celle de la population. Ce dernier point surprend les débutants et mérite d’être dit clairement : pour une taille d’échantillon donnée, la précision de l’estimation est presque la même que la population compte 20 000 membres ou 20 millions, à condition que l’échantillon ait été tiré sans biais. La taille de la population n’a pas besoin d’être connue exactement pour interpréter le résultat. L’échantillon n’est pourtant pas toujours le bon choix. Le recensement s’impose quand la population est petite et que la réponse doit être exacte plutôt qu’approximative, ou quand le simple fait de compter porte une obligation propre. Un service qui compte son personnel soignant pour un planning a besoin de chaque nom, pas d’une estimation. Un registre national des décès compte chaque décès, car chacun compte juridiquement et individuellement, et un audit hospitalier des antibiotiques peut examiner toutes les prescriptions d’un mois précisément parce que le but est de changer la pratique de chaque prescripteur, non de publier une moyenne. La règle pratique est donc : recourir à un échantillon quand il faut une estimation généralisable à un coût supportable, et à un recensement quand le nombre est lui-même le livrable, quand le groupe est assez petit pour être complet, ou quand exclure quelqu’un serait injuste — et jamais de recensement quand la mesure détruit ce qu’elle mesure.

L’estimation a une forme standard en pratique, qu’il vaut la peine d’apprendre dès maintenant, car l’unité 6 s’appuie dessus. Le nombre unique calculé sur l’échantillon — x̄ = 122 mmHg, ou p̂ = 0,46 — s’appelle l’estimation ponctuelle, car il désigne une seule valeur. Seul, il cache l’incertitude ; on le rapporte donc normalement avec une marge d’erreur, c’est-à-dire la quantité que l’on ajoute et retranche pour obtenir une estimation par intervalle du type 122 ± 3 mmHg. Cette marge se calcule à partir de la variabilité des données et de la taille de l’échantillon, et elle diminue lorsque l’échantillon grandit, mais lentement : pour une moyenne, l’erreur-type est s ÷ √n, donc quadrupler l’échantillon ne fait que diviser la marge par deux. Un chercheur qui veut diviser l’incertitude par deux doit payer quatre fois plus, et un débutant qui attend d’un plus grand échantillon la disparition de l’incertitude sera déçu. Pour une proportion, la même logique donne une erreur-type d’environ √(p̂(1 − p̂) ÷ n) ; avec p̂ = 0,5 et n = 100, l’erreur-type vaut √(0,25 ÷ 100) = 0,05, soit une marge d’environ 10 points de pourcentage, alors que n = 400 la ramène à 0,025, soit une marge d’environ 5 points. Ces nombres constituent l’arithmétique cachée derrière l’expression « marge d’erreur de trois points » de tout sondage électoral. La distinction plus profonde, et la plus importante en service, sépare l’erreur d’échantillonnage du biais. L’erreur d’échantillonnage est l’oscillation ordinaire due au fait de n’avoir mesuré qu’une partie de la population : elle est inévitable, elle est quantifiée par la marge d’erreur et elle diminue quand l’échantillon grandit. Le biais est une déformation systématique dans une seule direction, causée par qui a été sélectionné ou qui a répondu ; il ne diminue pas quand l’échantillon grandit, et un million de dossiers mal choisis peuvent être pires que cent dossiers bien choisis. Une erreur d’échantillonnage se répare donc par plus de données, alors qu’un biais ne se répare pas du tout par la taille. C’est pourquoi une soignante qui lit une enquête auprès du personnel doit poser deux questions séparées : combien de personnes ont répondu, ce qui fixe l’oscillation, et si celles qui n’ont pas répondu sont systématiquement différentes, ce qui fixe le biais. Une enquête de satisfaction à laquelle ne répondent que les soignants de jour présents le jour de la distribution peut afficher 90 % de satisfaction avec une marge d’erreur étroite et se tromper lourdement sur l’équipe de nuit. Reconnaître que le second problème n’est pas un problème de taille d’échantillon, voilà le bénéfice pratique du vocabulaire de cette section.