Étendue et variance

La formule s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) est utilisée dans toute la médecine, et sa raison mérite d’être connue : elle transforme une règle énigmatique en décision défendable. Le nom technique de cet ajustement est la correction de Bessel. Le problème qu’il répare s’appelle le biais, c’est-à-dire une procédure qui manque sa cible toujours du même côté au lieu de se disperser autour d’elle. Supposons que vous tiriez un échantillon d’une grande population et que vous utilisiez la moyenne de l’échantillon x̄ au lieu de la moyenne inconnue μ comme point de référence des écarts. La moyenne de l’échantillon est la valeur qui minimise la somme des distances au carré pour cet échantillon précis : par construction, aucun autre point de référence ne donne une somme de carrés plus petite. La quantité Σ(x − x̄)² est donc systématiquement inférieure à celle que l’on obtiendrait avec le vrai μ, et diviser ce numérateur sous-estimé par n donnerait en moyenne une variance trop petite. La correction de Bessel compense en divisant par le nombre légèrement plus petit n − 1, ce qui agrandit juste assez le quotient pour supprimer le biais. La quantité n − 1 s’appelle le nombre de degrés de liberté et son sens est concret : dès que la moyenne de l’échantillon est connue, seuls n − 1 écarts restent libres de varier, car le dernier est contraint de ramener le total à zéro. Avec cinq mesures et une moyenne de 130 mm Hg, les quatre premiers écarts peuvent être quelconques, mais le cinquième est déterminé par l’exigence que les cinq s’annulent ; il existe donc 4 = n − 1 informations indépendantes sur la dispersion. Les degrés de liberté reviendront avec le test t, l’analyse de variance ou le test du khi-deux, et chaque fois le même décompte s’applique : on perd un degré de liberté chaque fois qu’un paramètre comme la moyenne est estimé à partir des données elles-mêmes.

Le tableau des écarts est la voie la plus sûre vers la somme des carrés, car chaque ligne reste visible et vérifiable à la main, mais il existe une seconde voie qu’il faut savoir reconnaître, car les logiciels statistiques et les corrigés l’utilisent. La formule de calcul évite de calculer chaque écart séparément : Σ(x − x̄)² équivaut à Σx² moins (Σx)² ÷ n. Pour les cinq pressions, Σx² = 118² + 124² + 130² + 136² + 142² = 13 924 + 15 376 + 16 900 + 18 496 + 20 164 = 84 860, tandis que (Σx)² ÷ n = 650² ÷ 5 = 422 500 ÷ 5 = 84 500. La soustraction donne 84 860 − 84 500 = 360, exactement la somme des carrés obtenue par le tableau ; avec n − 1 = 4, la variance d’échantillon est donc encore 90 mmHg². Le tableau des écarts reste moins sujet aux erreurs pour les petits ensembles, car ses valeurs intermédiaires gardent des ordres de grandeur parlants, alors que la formule de calcul élève les mesures brutes en grands nombres où une faute de frappe devient invisible. Deux règles de mise à l’échelle complètent le tableau. Ajouter une constante à chaque observation décale la moyenne de cette constante mais ne modifie aucun écart : la variance est donc inchangée — ajouter 2 °C à tous les patients d’un service ne change pas la variation entre leurs températures. Multiplier chaque observation par une constante k multiplie les écarts par k, donc la variance par k² et l’écart-type par k. C’est pourquoi convertir des poids de grammes en kilogrammes, soit un facteur 1 000, divise la variance par 1 000 000 alors qu’il ne divise l’écart-type que par 1 000. Une variance n’a donc jamais de sens sans l’unité qui l’accompagne, et cette unité est toujours celle de la mesure d’origine, au carré.

Les décisions cliniques dépendent de la dispersion bien plus souvent que les débutants ne l’imaginent, et la variance est généralement la grandeur cachée en dessous. Dans un service, une seule mesure de pression artérielle est un instantané, alors que la variation entre les six dernières mesures porte le diagnostic : des valeurs oscillant entre 100/60 et 175/95 mm Hg définissent une hypertension labile, qui échappera totalement à l’infirmière qui moyenne les six mesures et note 138/78. Au laboratoire, les intervalles de référence sont construits à partir de la dispersion des mesures chez des sujets sains, et un résultat est jugé anormal en partie parce qu’il s’écarte fortement de la moyenne de ce groupe sain. Dans un audit, un service dont la conformité moyenne à l’hygiène des mains égale celle d’un autre mais dont la variance est trois fois plus grande connaît un problème sur certaines relèves plutôt qu’un déficit uniforme : les deux situations exigent des interventions totalement différentes, accompagnement individuel plutôt que formation générale. La dispersion détermine aussi quelle statistique peut légalement être rapportée : pour une variable très asymétrique comme la durée de séjour, une moyenne et un écart-type trompent, car quelques séjours très longs gonflent les deux, et une médiane avec un écart interquartile constitue le résumé honnête. Une habitude utile au chevet en découle. Quand vous voyez une moyenne citée dans un article, une recommandation ou une fiche de transmission, demandez aussitôt la mesure de dispersion qui l’accompagne et le nombre d’observations qui la soutiennent : une moyenne de 78 battements par minute issue de cinq patients et la même moyenne issue de cinq cents patients ne sont pas également fiables, et une forte dispersion peut transformer un résultat apparemment normal en un résultat à répéter avant toute prescription. La variance elle-même apparaît rarement dans les échanges cliniques, mais l’écart-type construit à partir d’elle, et le coefficient de variation qui permet de comparer des grandeurs d’unités différentes, ne sont que la variance traduite dans un langage utilisable au chevet.