Moyenne, médiane et mode

Considérez de nouveau la moyenne comme un équilibre physique. Imaginez les observations posées comme des poids égaux le long d’une règle : la moyenne est le point où la règle tient en équilibre, son centre de gravité. Cette image explique le mécanisme. Autour de la moyenne, les distances des valeurs situées en dessous annulent exactement les distances des valeurs situées au-dessus : ces distances signées, appelées écarts, s’additionnent toujours à zéro. Cette identité n’est pas une coïncidence : c’est la propriété qui définit la moyenne arithmétique, et c’est pourquoi la moyenne réagit à la grandeur d’une valeur et pas seulement à sa présence. Une observation très éloignée des autres apporte un écart important, et le point d’équilibre doit se déplacer pour rétablir l’équilibre. L’ampleur de ce déplacement se prévoit sans tout recalculer. Quand une nouvelle observation x rejoint un ensemble de n valeurs dont la moyenne était m, la moyenne se déplace exactement de (x − m) ÷ (n + 1), car le total augmente de x tandis que l’effectif augmente d’un. Avec n = 7, m = 78 et x = 140, le déplacement vaut (140 − 78) ÷ 8 = 7,75 battements par minute, exactement le mouvement observé au didacticiel 2. La formule montre aussi pourquoi les grands échantillons résistent à une valeur aberrante isolée : le même pic divisé par un dénominateur plus grand déplace moins la moyenne. La médiane n’a pas cette sensibilité, car c’est une statistique de position et non une somme algébrique ; l’insertion d’une valeur change seulement quelles positions sont centrales, et la grandeur d’une observation extrême ne peut jamais entrer dans le calcul. C’est pourquoi une distribution contaminée par quelques lectures très grandes se résume par la médiane, alors que la moyenne est réservée aux données dont chaque observation représente correctement le groupe.

Le choix de la moyenne n’est pas une question de goût : il est imposé par le niveau de mesure de la variable et par la forme de sa distribution. Les données nominales sont des étiquettes sans ordre — groupe sanguin, diagnostic, service, situation matrimoniale. Rien ne peut être additionné ni classé : la moyenne et la médiane sont donc indéfinies et le mode est la seule moyenne permise. Les données ordinales peuvent être classées, mais les écarts entre les rangs ne sont pas égaux — douleur cotée de 0 à 10, score d’Apgar, note de satisfaction. La médiane y est légitime parce qu’elle n’utilise que l’ordre, tandis que la moyenne suppose à tort que le pas de 1 à 2 vaut celui de 9 à 10. Les données d’intervalle et de rapport portent des unités égales : les trois mesures sont alors disponibles, et le facteur décisif devient la symétrie. Dans une distribution symétrique, moyenne et médiane coïncident, et la moyenne est préférée car elle utilise chaque observation. Dans une distribution asymétrique, elles se séparent, et le sens de l’asymétrie se lit dans celle qui est la plus grande : une longue queue de valeurs élevées — frais hospitaliers, durée de séjour, charge virale — tire la moyenne vers le haut, qui dépasse alors la médiane ; une longue queue de valeurs basses, comme l’âge au décès dans une unité néonatale, place la moyenne sous la médiane. La règle de restitution clinique en découle : moyenne pour une variable symétrique, médiane pour une variable asymétrique, mode pour une catégorie ; et lorsque moyenne et médiane diffèrent nettement, il faut le dire, car ce désaccord est en lui-même une information sur les données.

Les petits ensembles se listent valeur par valeur, mais les données d’un service sont généralement consignées dans un tableau de fréquences, comme à la section 4.3 : une colonne de classes et une colonne indiquant combien de patients tombent dans chacune. Lister soixante poids un à un est inutile. Quand les valeurs se répètent, ou lorsqu’elles sont regroupées en intervalles, la moyenne devient une moyenne pondérée : moyenne = Σ(f × x) ÷ Σf, où f est la fréquence d’une valeur et x cette valeur, ou le centre de sa classe. La lettre grecque majuscule Σ signifie « additionner ce qui suit ». Chaque valeur est multipliée par le nombre de fois où elle apparaît, ces produits sont additionnés, et le résultat est divisé par l’effectif total. Un exemple montre pourquoi le centre de classe compte. Supposons 60 patients répartis par poids : 40–49 kg avec f = 5, 50–59 kg avec f = 12, 60–69 kg avec f = 20, 70–79 kg avec f = 15 et 80–89 kg avec f = 8. Les centres valent 44,5 ; 54,5 ; 64,5 ; 74,5 et 84,5 kg. Les produits valent 222,5 ; 654 ; 1 290 ; 1 117,5 et 676, soit un total de 3 960. En divisant par Σf = 60, on obtient une moyenne pondérée de 66 kg, valeur approximative puisque chaque patient d’une classe est traité comme s’il se trouvait à son centre. Deux mises en garde en découlent. D’abord, une moyenne calculée sur des données groupées reste une estimation : la vraie moyenne n’est accessible qu’à partir des valeurs brutes. Ensuite, le mode de données groupées est la classe de plus grande fréquence, appelée classe modale — ici 60–69 kg, avec f = 20 — et non un poids précis, car les poids individuels ne sont plus visibles. Le même tableau donne la médiane par les fréquences cumulées : on repère la classe où le total cumulé dépasse pour la première fois n ÷ 2 = 30, puis on interpole à l’intérieur.