BMS 1110 · Tronc communSection 4.3 · Organiser et décrire les données

Section 19 sur 30

Données brutes, tableaux de fréquences et tableaux cumulés

Construire un tableau de fréquences à partir d’observations brutes, l’étendre avec des colonnes de fréquences relative et cumulée, vérifier que le dernier total cumulé égale le nombre d’observations, et regrouper un grand ensemble en classes de largeur pertinente.

Nouveau dans ce cours ? Comment fonctionne chaque section

Apprendre présente une seule idée courte à la fois. Chaque idée commence par une phrase simple, puis l’explique, donne un exemple et vous pose une petite question à laquelle vous pouvez répondre tout de suite.
Explorer montre un schéma des mêmes idées. Cliquez sur les parties numérotées pour lire ce que chacune représente.
Vérifier pose quelques questions. Répondez correctement à toutes pour terminer la section et débloquer la suivante.
« Approfondir » est facultatif. Il ajoute le mécanisme et des détails pour quand vous serez prêt — aucune notion nécessaire aux questions n’y est cachée.

Pourquoi c’est important

La première chose que l’on fait avec une série de mesures d’un service, c’est de les compter. Un ensemble d’âges, de tensions ou de durées de séjour ne dit rien tant qu’on n’a pas compté combien de fois chaque valeur apparaît, quelle part de patients elle représente et combien de patients se situent à cette valeur ou en dessous. Ces trois comptages forment le tableau de fréquences, et presque toutes les statistiques de ce cours — la médiane, le diagramme en bâtons, l’histogramme, la moyenne calculée sur des classes — se lisent dans un tel tableau. Savoir construire le tableau à la main, colonne par colonne, et vérifier que le dernier total cumulé égale le nombre de patients, c’est ce qui empêche un résumé de décrire discrètement le mauvais nombre de personnes.

Ce qu’il faut savoir avant

Il vous faut seulement compter, additionner et faire une division. Si vous savez compter combien de fois le nombre 22 apparaît dans une liste de dix âges et calculer 3 ÷ 10, vous avez toutes les compétences requises. Une calculatrice aide pour les pourcentages ; le raisonnement reste exactement le même.

Mots à connaître (6)

Données brutes: Les valeurs telles qu’elles ont été notées au départ, dans l’ordre d’arrivée, répétitions comprises, sans tri ni comptage. La liste 22, 35, 18, 41, 22, 29, 35, 18, 25, 22 est une donnée brute.
Effectif (fréquence): Le nombre de fois qu’une valeur apparaît dans l’ensemble des données. C’est un comptage d’observations : elle n’a pas d’autre unité que l’observation elle-même. Dans les dix âges ci-dessus, l’âge 22 a un effectif de 3, car trois patients avaient 22 ans.
Fréquence relative: L’effectif divisé par le nombre total d’observations. C’est une proportion comprise entre 0 et 1 ; la multiplier par 100 la transforme en pourcentage. 3 patients sur 10 donnent 3 ÷ 10 = 0,30, soit 30 % du groupe.
Fréquence cumulée: Le total courant obtenu en additionnant les effectifs de haut en bas. Chaque valeur compte les observations égales ou inférieures à cette ligne. Les effectifs 2, 3, 1, 1, 2, 1 donnent les fréquences cumulées 2, 5, 6, 7, 9, 10.
Classe (intervalle de classe): Une plage de valeurs traitée comme un seul groupe lorsque l’ensemble est grand, par exemple les âges de 20 à 29 ans. La classe 30–39 contient tous les patients âgés de 30, 31, … jusqu’à 39 ans.
Largeur de classe: La taille d’une classe, obtenue à partir de limites successives. Pour les classes 10–19 et 20–29, la largeur vaut 20 − 10 = 10 ans. Chaque classe 10–19, 20–29, 30–39 a la même largeur de 10 ans, ce qui garde le tableau comparable.

Une idée à la foisIdée 1 / 7

En une phrase Les données médicales sont des observations et des mesures recueillies pour être analysées ; elles viennent des patients, des dossiers, des analyses, des enquêtes et de la surveillance.

D’où viennent les données médicales

Une donnée est une observation ou une mesure recueillie dans le but d’être analysée. En milieu médical, elle provient de plusieurs endroits reconnaissables, et savoir lequel vous tenez change la confiance que vous pouvez lui accorder. Le patient est la première source : l’infirmière mesure une température, un pouls ou une tension et note la valeur. Les dossiers médicaux et les bases de données hospitalières fournissent des valeurs enregistrées auparavant, souvent par quelqu’un d’autre. Les analyses de laboratoire produisent des mesures comme un taux d’hémoglobine ou une glycémie. Les questionnaires recueillent ce que les patients déclarent sur eux-mêmes, par exemple le tabagisme ou l’alimentation. Les essais cliniques et la surveillance de santé publique collectent les données selon un plan écrit : c’est pourquoi ils autorisent des comparaisons qu’un cahier de service ne permet pas. Quelle que soit la source, les nombres obtenus au départ sont bruts : ils n’ont encore été ni comptés, ni triés, ni résumés.

Par exemple

Un service note l’âge de dix patients admis dans la nuit, dans l’ordre d’arrivée : 22, 35, 18, 41, 22, 29, 35, 18, 25, 22.

Petite vérification

Nommez trois sources différentes à partir desquelles une infirmière peut obtenir des données sur un patient, et précisez le type de valeur fourni par chacune.

Afficher la réponse

Trois sources parmi : le patient, qui fournit une valeur mesurée comme la température ou le pouls ; les dossiers médicaux et les bases de données hospitalières, qui contiennent des valeurs notées auparavant par d’autres collègues ; les analyses de laboratoire, qui donnent des concentrations mesurées comme l’hémoglobine ; les questionnaires, qui recueillent les déclarations du patient ; les essais cliniques et la surveillance de santé publique, qui suivent un plan écrit.

Lire les explications détaillées

Choisir une largeur de classe sans deviner: Choisir le nombre de classes et leur largeur relève du jugement, non d’un fait caché dans les données : ce jugement doit donc s’énoncer en deux gestes visibles. Décidez d’abord approximativement combien de classes vous voulez ; pour un débutant, visez entre cinq et vingt. Une formule courante, la règle de Sturges, l’estime par 1 + 3,322 × log10(n) : pour n = 50, elle donne 1 + 3,322 × 1,699 ≈ 6,6, soit environ sept classes. Divisez ensuite l’étendue par ce nombre et arrondissez le résultat à une valeur commode. Pour des âges allant de 10 à 59 ans, l’étendue vaut 59 − 10 = 49 ans, et 49 ÷ 7 = 7 ans exactement : sept classes de largeur 7 commencent donc 10–16, 17–23, 24–30, 31–37, 38–44, 45–51 et 52–58. La dernière classe s’arrête à 58 et la valeur 59 n’a nulle part où aller : le calcul paraissait parfait et le tableau échoue pourtant. Arrondir la largeur à 8 répare la situation, avec des classes de 10–17 à 58–65, dont la dernière est partiellement vide. Une dernière classe partiellement vide est sans conséquence ; une observation manquante ne l’est pas. L’exemple fourni fait le choix inverse, tout aussi valable : cinq classes de largeur 10, soit 10–19, 20–29, 30–39, 40–49 et 50–59, couvrent exactement 10 à 59. Les deux tableaux se défendent, et c’est pourquoi un rédacteur soigneux annonce le nombre de classes voulu et la largeur choisie avant de montrer le résultat. Deux termes techniques donnent tout son sens à la largeur lorsque le tableau sert ensuite à des calculs. Le milieu de classe, aussi appelé centre de classe, est la moyenne des deux limites : pour 20–29, il vaut (20 + 29) ÷ 2 = 24,5 ans, et il représente toutes les valeurs de la classe lorsqu’on estime ensuite une moyenne à partir de données groupées. La méthode des frontières importe lorsque la variable est continue et non un comptage en nombres entiers. Si le poids est noté au kilogramme près, la classe écrite 10–19 s’étend en réalité de 9,5 kg à 19,5 kg, soit une largeur de 10 kg, car un patient pesant 19,4 kg y est arrondi. Pour un comptage discret comme le nombre d’enfants, la classe 2–3 signifie exactement 2 ou 3 enfants et ne demande aucun ajustement. Ne changez jamais la largeur au milieu d’un tableau, car des largeurs inégales rendent les barres d’un histogramme trompeuses, et évitez une classe ouverte comme 70 ans et plus, dont le milieu ne peut pas être fixé. Terminez en vérifiant que chaque observation tombe dans une seule classe et que les effectifs de classe donnent n.
Lire un tableau de fréquences dans les deux sens: Un tableau de fréquences se lit vers l’avant pour une valeur et vers l’arrière pour un groupe, et ces deux lectures n’utilisent pas la même colonne. Vers l’avant, c’est la colonne des effectifs : elle indique combien de patients avaient exactement cette valeur. Vers l’arrière, c’est la colonne des fréquences cumulées : elle indique combien avaient cette valeur ou moins, et le résultat ne diminue jamais quand on descend le tableau. La fréquence relative cumulée est le total courant des proportions, et elle se comporte de la même façon. Dans un tableau complet, sa dernière valeur vaut exactement 1, soit 100 %. Voici une lecture concrète. Un service étudie la durée de séjour de 40 patients, et la fréquence relative cumulée après 5 jours vaut 0,85. Donc 85 % des patients sont restés cinq jours ou moins. La part restante s’obtient par soustraction, et non par un nouveau comptage : 1 − 0,85 = 0,15, donc 15 % sont restés plus de cinq jours, soit 0,15 × 40 = 6 patients. Cette soustraction s’appelle le complément ; elle est valide parce que chaque patient appartient à l’un des deux groupes et à un seul. Deux vérifications tiennent le tableau honnête, et elles détectent des défauts différents. D’abord, les effectifs doivent donner n et les fréquences relatives doivent donner 1. Lorsque les pourcentages sont arrondis à une décimale, ils peuvent totaliser 99,9 % ou 100,1 % : c’est un artefact d’arrondi et non une erreur, mais les proportions non arrondies donnent exactement 1. Ensuite, la colonne cumulée ne doit jamais diminuer et doit se terminer à n. Si elle se termine à 39 alors que 40 patients ont été mesurés, une observation s’est perdue quelque part au-dessus de cette ligne, et le défaut ne se situe pas dans la dernière addition mais dans l’effectif mal écrit plus haut. Lire le tableau vers l’arrière donne aussi au débutant une première idée informelle de probabilité : si 30 % de dix patients avaient 22 ans, on peut estimer qu’environ 30 % de patients comparables l’auront. Une proportion établie sur dix patients est fragile, car ajouter ou retirer un patient la déplace de dix points de pourcentage, alors que la même proportion établie sur mille patients bouge à peine. Le calcul est identique ; la fiabilité ne l’est pas.
Du tableau groupé au résumé clinique: Regrouper apporte une forme lisible et se paie en précision : connaître le prix, c’est ce qui rend le résumé honnête. Dès que les âges sont écrits 20–29, les valeurs individuelles disparaissent : le tableau ne dit plus qu’un patient avait 22 ans et un autre 29 ans. Ce qui subsiste, c’est la forme de la distribution — combien de patients sont jeunes, combien sont âgés, et où se situe l’essentiel du groupe. La méthode habituelle pour retrouver un nombre utilisable consiste à traiter chaque valeur d’une classe comme égale au milieu de classe, puis à calculer une moyenne estimée en additionnant les effectifs multipliés par leur milieu, le tout divisé par n. Pour les âges groupés fournis : 10–19 compte 8 patients et un milieu de 14,5, soit 8 × 14,5 = 116 ; 20–29 compte 15 patients et un milieu de 24,5, soit 15 × 24,5 = 367,5 ; 30–39 compte 12 patients et un milieu de 34,5, soit 12 × 34,5 = 414 ; 40–49 compte 10 patients et un milieu de 44,5, soit 10 × 44,5 = 445 ; 50–59 compte 5 patients et un milieu de 54,5, soit 5 × 54,5 = 272,5. Le total vaut 116 + 367,5 + 414 + 445 + 272,5 = 1 615, et 1 615 ÷ 50 = 32,3 ans. Cette moyenne est une estimation, non la vraie moyenne, car chaque milieu remplace des valeurs qui ne s’y trouvaient pas exactement ; avec des classes étroites elle est proche, avec des classes très larges elle dérive. Le même tableau répond sans nouveau calcul aux questions de ressources. Combien de patients avaient au moins 40 ans ? Additionnez les effectifs des deux dernières classes : 10 + 5 = 15 patients, soit 15 ÷ 50 = 0,30, c’est-à-dire 30 % du groupe. Lire de bas en haut donne un comptage « au moins », image symétrique de la colonne cumulée lue de haut en bas. La largeur choisie devient la largeur de chaque barre lorsque les mêmes effectifs groupés sont dessinés en histogramme : des largeurs inégales font donc paraître une barre importante simplement parce qu’elle est large, et non parce qu’elle contient plus de patients. Des largeurs égales évitent ce piège, et c’est pourquoi la règle de largeur et la règle du graphique n’en font qu’une. Enfin, lorsqu’une classe est ouverte, comme 70 ans et plus, aucun milieu ne peut être fixé et aucune moyenne groupée n’est fiable ; si le résumé est destiné au calcul, évitez les classes ouvertes même lorsqu’elles rendent le tableau plus net.

Explorez le schéma

Observez d’abord le dessin entier. Puis sélectionnez une partie numérotée et reliez-la à l’idée que vous venez de lire.

Des données brutes au tableau de fréquences à trois colonnes

Toute la démarche de la section sur un seul schéma. Les dix âges de patients sont d’abord montrés bruts, puis ordonnés, et cet ordre donne le minimum 18, le maximum 41 et l’étendue 23. Le tableau de fréquences compte ensuite chaque âge distinct, ajoute une colonne de fréquences relatives qui totalise 1,00 et 100 %, puis une colonne cumulée dont la dernière valeur, 10, égale n. Les deux derniers panneaux présentent le tableau groupé de 50 patients, dont les effectifs totalisent 50, et la règle de choix de la largeur de classe : étendue divisée par le nombre de classes, arrondie à la hausse.

Nouveau avec les schémas ? À lire d’abord

Regardez d’abord le dessin entier sans rien cliquer. Demandez-vous seulement : de quel type d’image s’agit-il (comparaison, trajet, séquence, tableau) ?
Appuyez sur Lire, ou utilisez les flèches, pour parcourir les parties numérotées dans l’ordre. Le dessin reste fixe ; seul le repère se déplace.
Cliquez sur un numéro, ou sur son nom dans la liste ci-dessous, pour lire ce qu’est cette partie et pourquoi elle compte. Utilisez « Masquer les repères » pour tester votre mémoire.

Autres commandes

100%

01 / 4Données brutes, puis données ordonnées

Si le schéma dépasse ce cadre, faites-le défiler latéralement. Les repères restent lisibles ; les explications numérotées ci-dessous présentent les mêmes idées.

Données brutes, puis données ordonnées

Le panneau supérieur montre les dix admissions de la nuit exactement telles qu’elles ont été notées : 22, 35, 18, 41, 22, 29, 35, 18, 25 et 22 ans. Les ordonner de la plus petite à la plus grande ne coûte rien et ne change aucune valeur, mais rend lisibles d’un coup d’œil le minimum 18 ans, le maximum 41 ans et l’étendue 41 − 18 = 23 ans. La médiane est la moyenne des cinquième et sixième valeurs ordonnées, soit (22 + 25) ÷ 2 = 23,5 ans — les deux valeurs centrales ne sont pas deux 22.

Les valeurs du tableau reprennent l’exemple fourni des dix âges de patients aux lignes 642–688 et en conservent l’arithmétique ; la ligne groupée totalise 50 observations identiques. Le schéma est schématique : les colonnes sont alignées pour la lecture et non dessinées à l’échelle.

Points clés à retenir

Les données médicales viennent des patients, des dossiers, des analyses, des questionnaires, des essais, des enquêtes et de la surveillance ; dans leur forme initiale non organisée, on les appelle données brutes.
Les données ordonnées vont de la plus petite à la plus grande valeur, ce qui rend lisibles le minimum, le maximum, l’étendue, la médiane et les quartiles sans parcourir la liste.
L’effectif est le nombre de fois qu’une valeur apparaît ; les effectifs d’un tableau complet doivent donner n.
Fréquence relative = effectif ÷ effectif total, une proportion entre 0 et 1 ; multipliez par 100 pour un pourcentage, et les proportions d’un tableau complet donnent 1.
La fréquence cumulée est le total courant des effectifs et répond « à cette valeur ou en dessous » ; sa dernière valeur doit égaler n.
Les données groupées utilisent des classes avec des limites, une largeur et des effectifs ; gardez des largeurs égales, évitez les recouvrements et les trous, et arrondissez la largeur à la hausse.

Approfondir

Exemple travaillé

Construire un tableau de fréquences complet à partir de dix âges de patients. Un agent administratif remet à l’infirmière un bout de papier portant l’âge des dix patients admis dans la nuit, dans l’ordre d’arrivée : 22, 35, 18, 41, 22, 29, 35, 18, 25, 22. Le service veut un tableau indiquant combien de fois chaque âge apparaît, quelle part de patients chaque âge représente, et combien de patients se situent à cet âge ou en dessous.

Comptez d’abord les observations et notez n. Dix âges figurent sur le papier, donc n = 10. Noter n avant de construire le tableau donne le nombre que tous les contrôles devront retrouver.
Écrivez chaque valeur distincte une seule fois, par ordre croissant : 18, 22, 25, 29, 35, 41. Remarquez que six lignes suffisent pour dix patients, car les répétitions partagent une ligne.
Comptez chaque valeur et inscrivez l’effectif : 18 donne 2, 22 donne 3, 25 donne 1, 29 donne 1, 35 donne 2 et 41 donne 1. Additionnez la colonne : 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10, ce qui égale n.
Divisez chaque effectif par n pour la fréquence relative, puis multipliez par 100 pour le pourcentage : 2 ÷ 10 = 0,20 et 20 %, 3 ÷ 10 = 0,30 et 30 %, 25 et 29 donnent 0,10 et 10 % chacune, 35 donne 0,20 et 20 %, et 41 donne 0,10 et 10 %. Les proportions totalisent 1,00 et les pourcentages 100 %.
Ajoutez une colonne cumulée en enchaînant les effectifs : 2, puis 2 + 3 = 5, puis 6, puis 7, puis 9, puis 10. La dernière valeur vaut 10 = n : le tableau est donc complet et correct.

Le tableau terminé comporte trois colonnes utiles. La colonne des effectifs indique combien de patients avaient chaque âge exact, celle des fréquences relatives indique la part du service correspondante, et la colonne cumulée indique combien de patients avaient cet âge ou moins. Le 10 final boucle avec n : c’est le contrôle le moins coûteux de la section.

Didacticiel 1 — construire les trois colonnes pour dix âges de patients

Les dix admissions de la nuit avaient 22, 35, 18, 41, 22, 29, 35, 18, 25 et 22 ans, dans cet ordre. Construisez un tableau de fréquences avec une colonne de fréquences relatives en pourcentage et une colonne de fréquences cumulées, puis prouvez que le tableau est complet.

Règle utilisée: Effectif = le nombre d’observations égales à cette valeur, un nombre entier sans unité. Fréquence relative = effectif ÷ effectif total, une proportion entre 0 et 1 ; pourcentage = proportion × 100, avec le symbole %. Fréquence cumulée = le total courant des effectifs, dont la dernière valeur doit égaler n, le nombre d’observations.

Comptez les observations, puis écrivez chaque âge distinct une seule fois, par ordre croissant.
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n = 10, car dix patients ont été mesurés. Les six âges distincts sont 18, 22, 25, 29, 35 et 41 ans.
Comptez combien de patients ont chacun des six âges et remplissez la colonne des effectifs.
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18 donne 2, 22 donne 3, 25 donne 1, 29 donne 1, 35 donne 2 et 41 donne 1. La somme vaut 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 = n.
L’effectif de 22 vaut 3. Que mesure exactement ce nombre, et que deviendrait le tableau si un onzième patient de 22 ans était admis ?
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Il signifie que trois patients distincts avaient 22 ans, et non la valeur 22 elle-même. Si un onzième patient de 22 ans arrivait, n deviendrait 11 et l’effectif de 22 passerait à 4 ; toutes les fréquences relatives devraient alors être recalculées sur le nouveau total de 11.
Divisez chaque effectif par 10 pour obtenir la fréquence relative, puis multipliez par 100 pour écrire le pourcentage.
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18 : 2 ÷ 10 = 0,20, soit 20 %. 22 : 3 ÷ 10 = 0,30, soit 30 %. 25 et 29 : 1 ÷ 10 = 0,10, soit 10 % chacun. 35 : 0,20, soit 20 %. 41 : 0,10, soit 10 %.
Additionnez les proportions : totalisent-elles 1 ? Pourquoi le doivent-elles, quelles que soient les données ?
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0,20 + 0,30 + 0,10 + 0,10 + 0,20 + 0,10 = 1,00, soit 100 %. Elles doivent totaliser 1 car chaque patient appartient à une seule ligne : les lignes se partagent le groupe entier, et un tout partagé se recompose toujours en 1.
Construisez la colonne des fréquences cumulées en enchaînant les effectifs, puis vérifiez sa dernière valeur.
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On part de 2, puis 2 + 3 = 5, puis 5 + 1 = 6, puis 6 + 1 = 7, puis 7 + 2 = 9, puis 9 + 1 = 10. La dernière valeur vaut 10, soit n : aucune observation n’a été perdue.
Un collègue lit le tableau et affirme que 25 patients avaient exactement 25 ans. À l’aide des deux colonnes, expliquez ce qu’il a confondu.
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Le collègue a lu la fréquence cumulée comme s’il s’agissait de l’effectif. L’effectif de 25 vaut 1 : un seul patient avait 25 ans. La fréquence cumulée en 25 vaut 6 : six patients avaient 25 ans ou moins. La fréquence cumulée répond à une autre question que l’effectif.

Réponse: Le tableau est : 18 avec 2, 0,20 et 20 %, cumul 2 ; 22 avec 3, 0,30 et 30 %, cumul 5 ; 25 avec 1, 0,10 et 10 %, cumul 6 ; 29 avec 1, 0,10 et 10 %, cumul 7 ; 35 avec 2, 0,20 et 20 %, cumul 9 ; 41 avec 1, 0,10 et 10 %, cumul 10. Les proportions totalisent 1,00 et la dernière valeur cumulée vaut n = 10.

À retenir: Construisez les colonnes dans l’ordre : listez les valeurs distinctes, comptez les effectifs, vérifiez qu’ils donnent n, divisez par n pour la fréquence relative, puis enchaînez les effectifs pour la colonne cumulée. Terminez en vérifiant que la dernière valeur cumulée égale n ; ce seul contrôle détecte presque toutes les erreurs.

Didacticiel 2 — regrouper cinquante patients et choisir la largeur de classe

Cinquante patients ont été admis pendant le mois d’étude. Leurs âges ont été notés en années entières, du plus jeune à 10 ans au plus âgé à 59 ans. Le tableau exigerait cinquante lignes, aussi l’équipe décide-t-elle de présenter les âges en cinq groupes environ. Choisissez une largeur de classe et construisez le tableau de fréquences groupé.

Règle utilisée: Largeur de classe = (plus grande valeur − plus petite valeur) ÷ nombre de classes souhaité, et le résultat est arrondi à l’entier supérieur commode, car les plus grandes valeurs doivent encore avoir une classe. Toutes les classes doivent avoir la même largeur, ne pas se recouvrir et ne laisser aucun trou entre elles ; la somme des effectifs de classe doit égaler n.

Trouvez l’âge le plus petit et le plus grand, puis soustrayez pour obtenir l’étendue.
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L’âge le plus petit est 10 ans et le plus grand 59 ans ; l’étendue vaut donc 59 − 10 = 49 ans.
Vous voulez environ cinq classes. Calculez 49 ÷ 5 et décidez s’il faut arrondir à la hausse ou à la baisse.
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49 ÷ 5 = 9,8 ans. On arrondit à 10 ans. Arrondir à 9 serait risqué : cinq classes de largeur 9 ne couvriraient que de 10 à 54 ans, et les patients de 55 à 59 ans n’auraient aucune classe. Arrondir à la hausse garde toutes les valeurs dans le tableau.
Écrivez les cinq classes de largeur 10 ans, en partant du plus petit âge.
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10–19, 20–29, 30–39, 40–49 et 50–59 ans. La dernière classe atteint 59 : le patient le plus âgé est donc inclus.
Pourquoi les classes 10–20 et 20–30 sont-elles dangereuses, et que se passe-t-il pour un patient d’exactement 20 ans ?
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La valeur 20 se trouve dans les deux classes : le patient pourrait être compté deux fois et le total dépasserait n = 50. Des classes adjacentes comme 10–19 et 20–29 n’ont aucune valeur commune : chaque âge tombe donc dans une seule classe et le total reste juste.
Les cinquante âges ont déjà été dénombrés dans les cinq classes, comme dans l’exemple groupé ci-dessus. Inscrivez les effectifs de classe dans un tableau, additionnez-les et vérifiez le total par rapport à n.
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Les effectifs de classe sont 8, 15, 12, 10 et 5. Leur somme vaut 8 + 15 + 12 + 10 + 5 = 50, ce qui égale n : chaque patient a donc été placé une seule fois.
Quelle est la largeur de classe de ce tableau, et quel est l’effectif de la classe 20–29 ?
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La largeur est la différence entre deux limites successives : 20 − 10 = 10 ans. L’effectif de la classe 20–29 vaut 15 : quinze patients avaient entre 20 et 29 ans inclus.
Ajoutez une colonne de fréquences cumulées et indiquez combien de patients avaient moins de 30 ans.
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Les fréquences cumulées sont 8, 23, 35, 45 et 50. À la ligne 20–29, on lit 8 + 15 = 23 patients de moins de 30 ans, et la valeur finale 50 égale de nouveau n.

Réponse: Âges groupés en cinq classes de largeur 10 ans : 10–19 avec 8, 20–29 avec 15, 30–39 avec 12, 40–49 avec 10 et 50–59 avec 5. Les effectifs totalisent 50 = n et la colonne cumulée donne 8, 23, 35, 45, 50.

À retenir: Choisissez une largeur de classe en divisant l’étendue par le nombre de classes souhaité et en arrondissant à la hausse, jamais à la baisse. Vérifiez ensuite trois points avant d’utiliser le tableau : les largeurs sont toutes égales, aucune valeur ne peut tomber dans deux classes, et les effectifs de classe totalisent n.

À vous d’essayer

Essayez chaque exercice sur papier. Écrivez la formule, remplacez les nombres, puis vérifiez l’unité de votre réponse.

On a mesuré la fréquence cardiaque de huit enfants dans une clinique, en battements par minute : 92, 88, 96, 88, 100, 92, 88 et 84. Construisez un tableau de fréquences avec une colonne de fréquences cumulées, et indiquez le total.
Indice
Écrivez d’abord les valeurs distinctes par ordre croissant, puis comptez chacune. Rappelez-vous que n est le nombre d’enfants, 8, et non le nombre de fréquences cardiaques différentes.
Afficher la réponse détaillée
Les valeurs ordonnées sont 84, 88, 88, 88, 92, 92, 96, 100, donc n = 8. Les effectifs sont 84 avec 1, 88 avec 3, 92 avec 2, 96 avec 1 et 100 avec 1, soit 1 + 3 + 2 + 1 + 1 = 8. Les fréquences cumulées sont 1, 4, 6, 7 et 8, et la dernière valeur 8 confirme qu’aucun enfant n’a été oublié. La fréquence relative de 88 vaut 3 ÷ 8 = 0,375, soit 37,5 % des enfants.
Une consultation d’hypertension a examiné 40 patients. Douze d’entre eux avaient une pression systolique de 140 mmHg ou plus. Donnez la fréquence relative en proportion et en pourcentage, et précisez combien de patients étaient en dessous de 140 mmHg.
Indice
Fréquence relative = effectif ÷ effectif total, ici 12 ÷ 40. Le second groupe est le reste des patients : soustrayez donc le premier effectif de 40 au lieu de recompter.
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La fréquence relative vaut 12 ÷ 40 = 0,30, soit 0,30 × 100 = 30 %. Ainsi, 30 % des patients avaient une pression systolique de 140 mmHg ou plus. Les autres patients sont 40 − 12 = 28, soit une proportion de 28 ÷ 40 = 0,70, c’est-à-dire 70 %. Les deux proportions donnent 0,30 + 0,70 = 1,00, ce qui confirme que les 40 patients ont bien tous été comptés.
Quatre-vingt-seize patients ont attendu entre 3 et 52 minutes avant d’être reçus. Vous voulez cinq classes pour ces temps d’attente. Calculez une largeur de classe pertinente, écrivez les cinq classes, puis vérifiez qu’une attente de 52 minutes est bien incluse.
Indice
Largeur de classe = (plus grande valeur − plus petite valeur) ÷ nombre de classes. Arrondissez à la hausse, jamais à la baisse, sinon les attentes les plus longues n’auront aucune classe.
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L’étendue vaut 52 − 3 = 49 minutes, donc 49 ÷ 5 = 9,8 minutes, ce qui s’arrondit à une largeur de classe de 10 minutes. Les cinq classes sont 3–12, 13–22, 23–32, 33–42 et 43–52 minutes. Les limites inférieures successives diffèrent de 10 (13 − 3 = 10), les classes ne se recouvrent pas puisque l’une finit à 12 et la suivante commence à 13, et il n’y a aucun trou. La dernière classe atteint 52 : l’attente la plus longue est donc incluse.
Dans une enquête portant sur 25 familles, la fréquence cumulée après 2 enfants vaut 20. Combien de familles avaient 3 enfants ou plus, et quelle proportion cela représente-t-il ?
Indice
La fréquence cumulée compte les familles à cette valeur ou en dessous. Toutes les autres sont au-dessus : soustrayez donc du total au lieu d’additionner des effectifs.
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La fréquence cumulée de 20 signifie que 20 familles avaient 2 enfants ou moins. Les familles restantes sont 25 − 20 = 5 : cinq familles avaient donc 3 enfants ou plus. En proportion, cela donne 5 ÷ 25 = 0,20, soit 0,20 × 100 = 20 %. Le contrôle est 20 + 5 = 25, le nombre total de familles interrogées.

Idée fausse fréquente

Les débutants traitent souvent la colonne des fréquences cumulées comme une seconde copie de la colonne des effectifs, et la lisent comme si elle répondait à la même question. Ce n’est pas le cas. L’effectif de 25 indique combien de patients avaient exactement 25 ans ; la fréquence cumulée en 25 indique combien avaient 25 ans ou moins. Comme une colonne cumulée ne diminue jamais, la lire comme un effectif surestime le comptage à partir de la deuxième ligne — ici six patients au lieu d’un. Une seconde erreur courante est de croire que le regroupement ne coûte rien. Une fois les âges groupés en 20–29, les âges individuels ont disparu, et toute moyenne calculée à partir du milieu des classes est une estimation, non la valeur exacte.

Vérifiez votre raisonnement

Expliquez avec vos propres mots pourquoi la dernière fréquence cumulée doit égaler n, et pourquoi ce contrôle peut à lui seul révéler une erreur que le total des effectifs ne montrerait pas.

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Chaque observation appartient à une seule ligne : en additionnant les effectifs les uns après les autres, on finit donc par compter chaque observation une fois et une seule. C’est pourquoi la dernière valeur cumulée vaut n. Le total des effectifs n’est qu’une somme unique : deux erreurs qui s’annulent — une valeur comptée deux fois, une autre oubliée — peuvent laisser ce total apparemment correct. La colonne cumulée rend ce couple d’erreurs plus difficile à cacher, car elle doit aussi augmenter du bon montant à chaque ligne et rester cohérente avec toutes les valeurs dans l’ordre. Pour un tableau long, comparer la valeur finale à n, et chaque étape à la ligne précédente, est le moyen le plus rapide de repérer un patient perdu.

D’où vient ce contenu

BMS 1110 Applied Mathematics and Medical Biostatistics lecture notes (supplied) · Chapter Two “Organization of data”, lines 630–688: meaning of data and the eight sources listed; raw data and the ten-patient age example; ordered data and what ordering makes possible; frequency distribution; relative frequency as a proportion and a percentage; cumulative frequency and the requirement that the final total equals the number of observations; grouped frequency distribution and the terms class interval, class limits, class width and class frequency.
Note on the course code · The supplied cover page reads “Course Number: BMS 110”. The curriculum catalogue in this project records “BMS 1110”; the catalogue is treated as authoritative and the notes’ cover value is retained here for provenance.
Beyond the supplied notes: choosing and using class widths · The supplied notes define class width but do not say how to choose one. Sturges’ rule for the number of classes, the rule of rounding a width up, the class midpoint, the boundary convention for a continuous variable, the complement reading of a cumulative relative frequency, and estimating a mean from a grouped table are standard descriptive-statistics practice added here and labelled as beyond the notes.

La progression des leçons est enregistrée sur cet appareil pour l’apprenant actuel. Les réponses d’entraînement restent séparées et ne sont pas conservées.

À propos de ce cours et de ses sources

Leçons bilingues organisées à partir des notes BMS 1110 Mathématiques appliquées et biostatistique médicale fournies (M. Ebangan Prosper Achuanoh). Les schémas sont des illustrations pédagogiques originales ; les sections qui dépassent les notes fournies le précisent dans leurs sources. La révision mathématique, clinique et francophone est en attente.