Exemple travaillé
Lire une ordonnance de 7/4 de comprimé et calculer ce qu’il reste. Une ordonnance est écrite 7/4 de comprimé d’un médicament, à donner en deux fois. La première partie, 1 1/2 comprimé, a déjà été administrée. Avant de préparer la seconde, l’infirmière convertit l’ordonnance en une forme mesurable et calcule ce qu’il reste à donner au patient.
- Lire la fraction impropre comme un nombre fractionnaire : divisez 7 par 4. Quatre entre une fois dans sept et il reste 3, donc 7/4 = 1 3/4 comprimé. C’est la quantité réellement mesurable dans le service.
- Mettez les deux quantités au même dénominateur avant de soustraire. Les dénominateurs sont 4 et 2, et 4 est le plus petit dénominateur commun : 1 1/2 = 3/2 = (3 × 2)/(2 × 2) = 6/4 de comprimé.
- Soustrayez uniquement les numérateurs et gardez le dénominateur commun : 7/4 − 6/4 = 1/4 de comprimé.
- Réduisez la réponse. Le numérateur 1 et le dénominateur 4 n’ont aucun facteur commun autre que 1 : 1/4 est donc déjà irréductible.
- Vérifiez avec la forme décimale : 7/4 = 1,75 et 1 1/2 = 1,5 ; 1,75 − 1,5 = 0,25, soit 1/4. La réponse en fraction et la réponse en décimal concordent.
La seconde partie de la dose est de 1/4 de comprimé. Remarquez l’ordre des gestes : convertir la fraction impropre, mettre les dénominateurs au même niveau, soustraire les numérateurs, réduire, puis vérifier en décimal. Mettre les dénominateurs au même niveau était nécessaire parce qu’il s’agissait d’une soustraction ; si l’ordonnance avait demandé une multiplication, les dénominateurs seraient restés tels quels.
Didacticiel 1 — additionner des dénominateurs différents pour une dose totale
Sur une période de 24 heures, un patient reçoit deux fois le même médicament : 1 1/2 comprimé à 8 h et 3/4 de comprimé à 20 h. Le dossier demande le nombre total de comprimés administrés dans la journée, écrit sous forme de nombre fractionnaire.
Règle utilisée: Les fractions doivent avoir le même dénominateur avant d’être additionnées ; une fois les dénominateurs identiques, additionnez seulement les numérateurs et gardez le dénominateur commun. Un nombre fractionnaire se change d’abord en fraction impropre : parties = entier × dénominateur + numérateur, le tout sur le dénominateur. L’unité est le comprimé du début à la fin.
Changez le nombre fractionnaire 1 1/2 en fraction impropre, en écrivant chaque geste de la règle.
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1 1/2 = (1 × 2 + 1)/2 = 3/2 comprimé. Le comprimé entier vaut deux moitiés, et la moitié supplémentaire donne trois moitiés ; 3 ÷ 2 = 1,5 confirme la valeur.
Pourquoi ne peut-on pas additionner 3/2 et 3/4 tels quels ? Que doit-il être vrai avant d’additionner les numérateurs ?
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Les parties sont de tailles différentes : l’une compte des moitiés, l’autre des quarts. L’addition compte des parties, donc celles-ci doivent d’abord avoir la même taille. Il faut réécrire les deux fractions sur le plus petit dénominateur commun, ici 4.
Trouvez le plus petit dénominateur commun de 2 et 4, puis réécrivez 3/2 sur ce dénominateur.
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4 est un multiple de 2 : 4 est donc lui-même le plus petit dénominateur commun. 3/2 = (3 × 2)/(2 × 2) = 6/4. Vérification : 6 ÷ 4 = 1,5, exactement la valeur de 3/2.
Additionnez les deux fractions en conservant le dénominateur commun.
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6/4 + 3/4 = 9/4 comprimé. Seuls les numérateurs 6 et 3 s’additionnent ; le dénominateur 4 reste inchangé, car il nomme la taille des parties, et cette taille n’a pas changé.
Le dossier demande un nombre fractionnaire. 9/4 est-elle déjà irréductible, et quel est le total ?
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9 et 4 n’ont aucun facteur commun autre que 1 : 9/4 est donc déjà irréductible. Sous forme de nombre fractionnaire, 9 ÷ 4 = 2 et il reste 1, donc 9/4 = 2 1/4 comprimés : deux comprimés entiers et un quart.
Vérifiez le total à l’aide des formes décimales des deux quantités de départ.
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3/2 = 1,5 et 3/4 = 0,75 ; 1,5 + 0,75 = 2,25, soit 2 1/4. Le total dépasse la première dose seule et vaut un peu plus de deux comprimés, comme attendu.
Réponse: Le patient a reçu 9/4 = 2 1/4 comprimés du médicament en 24 heures.
À retenir: Convertissez d’abord les nombres fractionnaires, mettez ensuite les dénominateurs au même niveau, additionnez uniquement les numérateurs, puis réduisez. Écrire l’unité « comprimé » à chaque ligne évite de confondre une dose totale avec un nombre de doses, et la vérification décimale finale rattrape toute erreur de dénominateur commun.
Didacticiel 2 — combien de doses de 1/4 de comprimé l’ordonnance demande-t-elle
Un service doit donner 1/4 de comprimé du médicament à chaque prise. La boîte de stock contient 3 1/2 comprimés de ce dosage. Calculez combien de doses complètes peuvent être préparées avec ce qu’il reste, sans ouvrir une nouvelle boîte.
Règle utilisée: Pour diviser par une fraction, inversez le diviseur — retournez-le — puis multipliez : a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Diviser par c/d et multiplier par d/c sont des opérations inverses, car c/d × d/c = 1. Les nombres fractionnaires doivent d’abord être changés en fractions impropres, et la réponse est un nombre de doses, sans unité de volume.
Changez le stock, 3 1/2 comprimés, en fraction impropre.
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3 1/2 = (3 × 2 + 1)/2 = 7/2 comprimés. Trois comprimés entiers valent six moitiés, plus la moitié supplémentaire, ce qui donne sept moitiés de comprimé.
Lisez 7/2 ÷ 1/4 comme une phrase sur les comprimés. Que demande réellement la question ?
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Elle demande combien de quarts de comprimé entrent dans sept moitiés, c’est-à-dire dans trois comprimés et demi. Comme les deux quantités sont des parties du même comprimé, la réponse sera un nombre entier : un nombre de doses de 1/4 de comprimé.
Inversez le diviseur et réécrivez le calcul sous forme de multiplication.
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Le diviseur est 1/4 ; son inverse est donc 4/1. Le calcul devient 7/2 ÷ 1/4 = 7/2 × 4/1. Le dividende 7/2 n’est pas inversé ; seule la fraction par laquelle on divise est retournée.
Pourquoi est-il permis de multiplier par 4/1 ? Que vaut 1/4 × 4/1, et que démontre ce résultat ?
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1/4 × 4/1 = 4/4 = 1. Multiplier par 4/1 annule donc la division par 1/4 : le diviseur disparaît et l’on retrouve la quantité d’origine. C’est pourquoi l’inversion du diviseur fonctionne : la division cherche la valeur qui, multipliée par le diviseur, redonne le dividende, et d/c est exactement cette valeur.
Multipliez les fractions, réduisez, puis donnez le nombre de doses avec son unité.
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7/2 × 4/1 = (7 × 4)/(2 × 1) = 28/2 = 14. En réduisant 28/2, on obtient 14 : on peut donc préparer 14 doses de 1/4 de comprimé. La réponse est un nombre de doses, non un volume.
Une nouvelle boîte contient 3 3/4 comprimés. Combien de doses de 1/4 de comprimé fournit-elle, et que vous apprend ce changement sur la division ?
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3 3/4 = 15/4, donc 15/4 ÷ 1/4 = 15/4 × 4/1 = 60/4 = 15 doses. Chaque 1/4 de comprimé supplémentaire ajoute exactement une dose, car le diviseur vaut 1/4 : diviser un nombre de quarts par un quart revient simplement à compter les quarts disponibles.
Réponse: 3 1/2 ÷ 1/4 = 7/2 × 4/1 = 14 : on peut donc préparer 14 doses de 1/4 de comprimé avec la boîte de stock.
À retenir: Changez les nombres fractionnaires en fractions impropres, inversez le diviseur, multipliez, puis réduisez. Lisez la division à voix haute — « combien de ceux-ci entrent dans cela ? » — avant de calculer, et vérifiez que la réponse est un nombre de doses : si votre résultat porte des millilitres ou des milligrammes, vous avez divisé dans le mauvais sens.
Didacticiel 3 — 2/3 d’une dose de 24 heures, et la multiplication des nombres fractionnaires
Une ordonnance de 24 heures pour un antibiotique est de 1 200 mg, administrée en deux prises. La dose du soir vaut 2/3 du total quotidien. Calculez la dose du soir en milligrammes, puis trouvez celle du matin et vérifiez que les deux parties forment la journée entière.
Règle utilisée: Le mot « de » entre une fraction et une quantité signifie multiplier. Pour multiplier des fractions, multipliez numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur ; un entier s’écrit sur 1, et un nombre fractionnaire se change d’abord en fraction impropre : parties = entier × dénominateur + numérateur. Le produit est ensuite réduit, et l’unité de la réponse est le milligramme.
Écrivez la dose du soir sous forme de multiplication, en plaçant l’entier sur 1.
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La dose du soir vaut 2/3 de 1 200 mg, soit 2/3 × 1 200, et 1 200 écrit sur 1 donne 1 200/1. Le calcul est donc 2/3 × 1 200/1 mg.
Multipliez numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur.
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2 × 1 200 = 2 400 et 3 × 1 = 3 : le produit est donc 2 400/3 mg. Les dénominateurs ont simplement été multipliés ; aucun dénominateur commun n’était nécessaire.
Pourquoi aucun dénominateur commun n’était-il nécessaire ici, alors que le didacticiel précédent en exigeait un ?
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Parce que l’opération est une multiplication : elle prend une partie d’une quantité au lieu de compter des parties égales. Les dénominateurs se multiplient, ils ne se comparent pas : aucune réécriture n’est nécessaire. Seules l’addition et la soustraction exigent des dénominateurs identiques : c’est la règle unique de ce chapitre.
Divisez et réduisez pour obtenir la dose du soir en milligrammes.
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2 400 ÷ 3 = 800 mg. Vérification de la réduction : 800/1 200 = 2/3, car diviser 800 et 1 200 par 400 donne 2 et 3. La dose du soir est de 800 mg.
Si les deux prises forment la journée entière, quelle fraction reste pour le matin, et combien de milligrammes cela représente-t-il ?
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La journée entière vaut 3/3 et le soir en a pris 2/3 : la dose du matin est donc 3/3 − 2/3 = 1/3 du total, soit 1/3 × 1 200 = 400 mg. Vérification : 800 + 400 = 1 200 mg, l’ordonnance complète de 24 heures.
Une seconde ordonnance est écrite 1 1/2 × 3/4 de comprimé. Convertissez le nombre fractionnaire, multipliez et réduisez.
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1 1/2 = (1 × 2 + 1)/2 = 3/2. Puis 3/2 × 3/4 = 9/8 = 1 1/8 comprimé. Neuf et huit n’ont aucun facteur commun autre que 1 : 9/8 est donc déjà irréductible.
Réponse: La dose du soir est de 2/3 × 1 200 = 800 mg et celle du matin de 400 mg ; ensemble, elles redonnent l’ordonnance complète de 1 200 mg.
À retenir: Lisez « de » comme « multiplier », placez les entiers sur 1, convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres, multipliez en croix, puis réduisez. Terminez en réadditionnant les parties : si les deux fractions de la journée ne reconstituent pas le tout, une conversion est fausse.
À vous d’essayer
Essayez chaque exercice sur papier. Écrivez la formule, remplacez les nombres, puis vérifiez l’unité de votre réponse.
Un patient doit recevoir 1/2 comprimé le matin et 3/4 de comprimé le soir du même médicament. Combien de comprimés au total, et ce total dépasse-t-il un comprimé ?
Indice
Les dénominateurs sont 2 et 4. Mettez-les au même niveau avant d’additionner, et rappelez-vous que seul le numérateur s’additionne.
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4 est un multiple de 2 : le plus petit dénominateur commun est 4, et 1/2 = 2/4. Puis 2/4 + 3/4 = 5/4 comprimé. Réduit et converti, 5 ÷ 4 = 1 et il reste 1, donc 5/4 = 1 1/4 comprimé. Le total dépasse un comprimé : un comprimé entier et un quart. Vérification décimale : 0,5 + 0,75 = 1,25 = 1 1/4.
Une ordonnance indique 2/3 d’une dose quotidienne de 900 mg. Calculez la dose en milligrammes par une multiplication de fractions, et montrez la réduction.
Indice
Le mot « de » signifie multiplier. Écrivez 900 sur 1, multipliez en croix, puis réduisez avant de diviser.
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2/3 de 900 mg vaut 2/3 × 900/1 = (2 × 900)/(3 × 1) = 1 800/3 mg. La réduction donne 1 800/3 = 600 mg, car 1 800 ÷ 3 = 600. De façon équivalente, simplifiez avant de multiplier : 900 ÷ 3 = 300, puis 2 × 300 = 600 mg. Aucun dénominateur commun n’était nécessaire, puisqu’il s’agit d’une multiplication.
Un flacon de stock contient 2 1/4 comprimés, et chaque dose est de 1/8 de comprimé. Combien de doses complètes de 1/8 de comprimé peut-on préparer, et reste-t-il quelque chose ?
Indice
Changez 2 1/4 en fraction impropre, inversez le diviseur 1/8, multipliez, puis réduisez le quotient.
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2 1/4 = (2 × 4 + 1)/4 = 9/4 comprimé. Puis 9/4 ÷ 1/8 = 9/4 × 8/1 = 72/4 = 18. On peut préparer dix-huit doses complètes de 1/8 de comprimé, et il ne reste rien, car dix-huit huitièmes valent exactement 9/4 écrit sur un dénominateur de 8. Vérification : 18 × 1/8 = 18/8 = 9/4.
Une prescription est écrite 26/8 de comprimé. Réduisez-la, puis écrivez-la comme nombre fractionnaire et dites quelle forme vous liriez à voix haute à un collègue.
Indice
Trouvez le plus grand nombre qui divise à la fois 26 et 8, réduisez, puis divisez le numérateur par le dénominateur pour la partie entière.
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26 et 8 sont tous deux divisibles par 2, donc 26/8 = 13/4 ; 13 et 4 n’ont plus de facteur commun, donc 13/4 est irréductible. Sous forme de nombre fractionnaire, 13 ÷ 4 = 3 et il reste 1, donc 13/4 = 3 1/4 comprimés. Lisez 3 1/4 à voix haute, car un entier suivi d’une fraction se confond moins facilement que 26/8, et confirmez avec le décimal 3,25 en cas de doute.
Idée fausse fréquente
L’erreur de débutant la plus fréquente consiste à additionner les fractions « tout droit », en écrivant 1/2 + 1/3 = 2/5 ou 3/4 + 1/2 = 4/6. Cela paraît symétrique et c’est faux, car les dénominateurs sont des noms, non des quantités : une moitié et un tiers sont des parties de tailles différentes, et seules des parties égales peuvent être comptées ensemble. En sixièmes, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6, résultat supérieur à chaque fraction et inférieur à un tout. Un second piège consiste à transporter cette habitude dans la multiplication, où l’on invente un dénominateur commun inutile : 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5 sans aucune réécriture. La règle sépare nettement les quatre opérations : même dénominateur pour additionner ou soustraire, jamais pour multiplier ou diviser.
Vérifiez votre raisonnement
Expliquez avec vos propres mots pourquoi 1/2 + 1/3 doit être réécrit en 3/6 + 2/6 avant d’être additionné, alors que 1/2 × 1/3 se multiplie directement en 1/6 sans aucune réécriture.
Afficher une réponse
L’addition compte le nombre de parties disponibles : toutes doivent donc avoir la même taille. Une moitié et un tiers sont de tailles différentes, et les sixièmes les rendent comparables, car 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, ce qui donne 5/6. La multiplication ne compte pas des parties : elle prend une partie d’une partie. La moitié d’un tiers vaut un sixième, quelles que soient les tailles de départ ; les numérateurs et les dénominateurs se multiplient donc directement. Cette distinction est la règle unique du chapitre : on met les dénominateurs au même niveau pour additionner et soustraire, on n’y touche pas pour multiplier et diviser.
D’où vient ce contenu
- BMS 1110 Applied Mathematics and Medical Biostatistics lecture notes (supplied) · Unit Two “Basic Maths Review”, Lesson 1 “Fractions”, lines 84–176: fractions as parts of a whole; numerator as dividend and denominator as divisor (lines 92–97); the four reminders (98–102); proper, improper, complex and mixed fractions (103–107); improper-to-mixed and mixed-to-improper conversions (108–118); lowest common denominator and equivalent fractions (119–128); addition, subtraction, multiplication and division of fractions and mixed numbers (129–176).
- Beyond the supplied notes: why inverting the divisor works · The notes state “invert (turn upside down) the divisor” at lines 170–171 without giving a reason. The common-denominator argument, the missing-factor argument and the tablet check used here are standard arithmetic that the notes assume rather than teach.
- Beyond the supplied notes: complex fractions and reduction · Line 91 lists “reducing a complex fraction” as an objective and lines 103–107 define a complex fraction, but the notes give no method. The two reduction methods for complex fractions, the greatest-common-factor rule, prime factorisation and cancelling before multiplying are standard arithmetic supplied here.
- A defect in the supplied equivalence examples · Lines 126–128 ask the learner to complete 2/3 = ?/12, 2/5 = ?/8 and 2/7 = ?/14. The middle item has no whole-number solution, because 8 is not a multiple of 5 and so is not a valid denominator for 2/5. That item is not reproduced; this section uses 2/3 = 8/12 and 2/7 = 4/14 instead, and states the rule that a new denominator must be a multiple of the old one.
- Note on the course code · The supplied cover page reads “Course Number: BMS 110”. The curriculum catalogue in this project records “BMS 1110”; the catalogue is treated as authoritative and the notes’ cover value is retained here for provenance.