En une phrase L’algèbre remplace un nombre encore inconnu par une lettre, pour qu’une même règle serve à tous les patients.
Les lettres remplacent les nombres inconnus
L’algèbre est la branche des mathématiques où des lettres et d’autres symboles généraux représentent des nombres et des quantités. Au lieu d’écrire un calcul séparé pour chaque patient, on écrit une seule expression contenant une lettre et on la réutilise. Dans l’équation 3x + 4 = 28, la lettre x est la variable — la quantité qui peut changer. Le nombre 3 qui lui est attaché est le coefficient : il indique une multiplication. Les nombres 4 et 28 sont des constantes : ils ne changent pas. Expressions, équations, inéquations et fonctions sont toutes construites à partir de ces mêmes parties. Savoir reconnaître chaque partie n’est pas une formalité : c’est ce qui vous dit quelle quantité de l’ordonnance vous êtes en train de chercher.
Un sirop pédiatrique apporte 2 mg de médicament par kilogramme de poids. En algèbre : dose = 2 × W, où W est le poids de l’enfant. Une règle, n’importe quel enfant.
Dans la règle dose = 15 × W, quel symbole est la variable et lequel est le coefficient ?
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W est la variable : elle représente le poids du patient et change d’un patient à l’autre. 15 est le coefficient : c’est le nombre fixe par lequel la variable est multipliée, ici 15 mg par kilogramme.
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- Pourquoi les règles de signes sont imposées, et non choisies
Il vaut la peine de se démontrer que les règles de signes sont les seules possibles, car une règle que l’on a démontrée ne s’oublie pas. Partons des deux faits admis par tous : multiplier un nombre par zéro donne zéro, et la distributivité s’applique, c’est-à-dire a(b + c) = ab + ac. Prenons a négatif, par exemple −2, et multiplions-le par la somme 3 + (−3), qui vaut zéro. En distribuant : (−2)(3) + (−2)(−3) = 0. Le premier produit, (−2)(3), vaut −6 par la règle connue. Donc −6 + (−2)(−3) = 0, ce qui impose (−2)(−3) = +6. Il n’y a aucune liberté : briser la règle « moins fois moins fait plus » brise aussi la distributivité, et l’algèbre ordinaire — développer, réduire, résoudre — cesse de fonctionner. Cela dépasse largement la salle de classe, car toute formule de dose est une équation et tout facteur de conversion une fraction, et les deux reposent sur la distributivité. Quand un collègue affirme que ces règles sont arbitraires, la réponse est concrète : adoptez l’autre règle et (dose ÷ stock) × volume ne signifiera plus la même chose pour deux personnes. Le même raisonnement s’étend à la division. Diviser par −3 revient à multiplier par l’inverse −1/3, et cet inverse porte un signe négatif : deux négatifs en division donnent donc encore un positif. C’est une seule règle, pas deux.
- La droite réelle, les intervalles et pourquoi −2 dépasse −7
Les nombres réels sont la réunion des rationnels — ceux que l’on peut écrire comme quotient de deux entiers — et des irrationnels, qui ne le peuvent pas, comme la racine carrée de 2 ou pi. Entre deux nombres réels il y a toujours un autre nombre : la droite n’a donc pas de trous, ce qui permet de traiter toute mesure physique comme un point de cette droite. L’ordre de la droite est à l’origine d’un piège clinique courant. Sur la droite, plus grand veut dire plus à droite : −2 est donc supérieur à −7, même si le chiffre 7 est plus grand que le chiffre 2. Un patient dont le bilan hydrique est de −2 unités est dans une meilleure situation qu’un patient à −7 unités, et une variation de température de −2 °C est une valeur plus grande que −7 °C. La valeur absolue est la seconde idée enseignée par la droite : elle écarte la direction et garde la taille, notée entre deux barres verticales. |−7| = 7 et |−2| = 2 : le patient à −7 a donc le déficit le plus important, alors que la valeur −2 est le plus grand nombre. Les débutants qui confondent « nombre plus grand » et « écart plus grand » lisent mal ces bilans. Enfin, la droite fournit les intervalles, c’est-à-dire l’écriture des valeurs de référence. La notation « normale 3,5–5,0 » est un intervalle, et une mesure est soit dedans, soit dehors ; une inéquation comme 3,5 ≤ x ≤ 5,0 signifie que x vaut au moins 3,5 et au plus 5,0. Lire une inéquation comme un morceau de la droite numérique, et non comme un symbole mystérieux, rend la section suivante presque automatique.
- Porter les unités à travers chaque calcul
L’analyse des unités est le contrôle de sécurité le moins coûteux du calcul clinique : il ne demande que de la rigueur. Traitez une unité comme un symbole algébrique : elle se multiplie, se divise et s’annule exactement comme une variable. Si un coefficient est écrit en milligrammes par kilogramme et que vous le multipliez par un poids en kilogrammes, le symbole kilogramme apparaît une fois au-dessus et une fois au-dessous de la barre et s’annule, laissant des milligrammes. Si l’unité qui survit n’est pas celle qu’exige la réponse, il y a une erreur — mauvaise conversion ou fraction inversée — et vous le savez avant que la réponse n’atteigne un patient. C’est pourquoi les notes insistent sur le poids en kilogrammes dès qu’une ordonnance est écrite par kilogramme : un coefficient en mg/kg multiplié par un poids en livres produit une unité dépourvue de sens, et une unité dépourvue de sens signifie une dose fausse. La méthode détecte aussi l’inversion classique, où l’on divise au lieu de multiplier. Multiplier par la mauvaise forme d’un facteur de conversion transforme l’unité en son inverse, et l’incohérence est immédiatement visible. Deux habitudes la rendent efficace. D’abord, écrire l’unité à chaque ligne, pas seulement à la réponse : c’est aux lignes intermédiaires que l’annulation se produit. Ensuite, écrire chaque conversion comme une fraction égale à un, par exemple 1 000 mg sur 1 g, et l’orienter pour que l’unité indésirable s’annule. Inutile de se rappeler s’il faut multiplier ou diviser : les unités décident, et elles ne se trompent jamais de calcul.